임계 압력(비)과 음속 누출(Sonic Flow) 판정 기준

임계 압력 또는 임계 압력비를 이용하여 음속 누출(Sonic Flow) 여부를 판정하는데 그 기준을 공유하고자 한다.

 

 

 

임계 압력(비)과 음속 누출(Sonic Flow) 판정 기준

가스가 고압 용기에서 대기 중으로 누출될 때, 용기 내부 압력(P₀)과 외부 대기 압력(Pₐ)의 차이에 의해 유속이 결정된다. 특정 압력 조건에서 유속은 해당 가스의 음속(Sonic Velocity)에 도달하며, 이때의 압력 경계점을 임계 압력(P꜀)이라 정의한다.

 

 

임계 압력(p꜀)과 임계 압력비(r꜀)의 관계

1. 임계 압력(P꜀) 산정식

가스 역학에서 유체가 음속(Sonic Flow)에 도달하는 물리적 경계점인 임계 압력(p꜀)은 다음 식과 같이 용기 내부의 절대 압력과 가스의 비열비에 의해 결정된다.

P꜀ = P₀ * [ 2 / (γ + 1) ]^(γ / (γ - 1))

• P꜀: 임계 압력 (Pa, absolute)
• P₀: 용기 내부 절대 압력 (Pa, absolute)
• γ: 가스의 비열비 (Cₚ / Cᵥ)

2. 임계 압력비(r꜀ = P₀ / P꜀) 도출

임계 압력(P꜀) 식으로부터 압력비(r꜀ = P₀ / P꜀)를 도출하는 과정은 대수적 역수 관계를 이용한다. 이는 용기 내부 압력과 누출구에서의 임계 압력 사이의 상관관계를 정의하며, 음속 누출 여부를 판정하는 무차원 상수를 제공한다.

P꜀ / P₀ = [ 2 / (γ + 1) ]^(γ / (γ - 1))

여기서 r꜀는 P₀ / P꜀로 정의되므로, 위 식의 양변에 역수(Reciprocal)를 취한다.

(P꜀ / P₀)⁻¹ = { [ 2 / (γ + 1) ]^(γ / (γ - 1)) }⁻¹

분수식의 역수는 분모와 분자를 바꾼 것과 같으므로, 우변의 괄호 안의 분수를 뒤집는다.

P₀ / P꜀ = [ (γ + 1) / 2 ]^(γ / (γ - 1))

따라서, 임계 압력비 r꜀는 다음과 같이 정리된다.

r꜀ = p₀ / p꜀ = [ (γ + 1) / 2 ]^(γ / (γ - 1))

 

 

음속 누출(Sonic/Choked Flow) 판정 기준

다음과 같은 조건일 때 음속 누출(Sonic/Choked Flow)로 판정한다.

• p₀ / pₐ ≥ r꜀: 실제 압력비(p₀ / pₐ)가 산출된 r꜀보다 크거나 같을 경우
• P꜀ ≥ Pₐ: 임계 압력(P꜀)이 외부 대기 압력(Pₐ)보다 크거나 같을 경우
• 설명: 용기 내부 압력과 대기압의 차이가 충분히 커서(용기 내부에서 외부로 밀어내는 압력이 임계점 이상이 되어), 누출구에서의 유속이 가스의 음속과 동일해지는 상태이다. 이 경우 외부 압력이 더 낮아지더라도 누출률(Wg)은 증가하지 않고 일정하게 유지된다.

r꜀ 경계값에 인접하여 판정이 모호한 경우, 안전 측 설계를 위해 Sonic Flow(Choked Flow)로 간주하여 누출률을 산정한다.

 

 

 

수치 해석 및 적용

도출된 r꜀ 식은 오직 가스의 가스의 단열지수(또는 비열비, Isentropic Exponent, γ)에 의해서만 결정되는 고유한 상수이다.

• r꜀의 의미: 용기 내부 압력(P₀)이 외부 압력(Pₐ)의 r꜀ 배 이상이 되면, 누출 속도는 음속에 도달한다.
• 수치 예시 (2원자 가스, γ = 1.4): r꜀ = [ (1.4 + 1) / 2 ]^(1.4 / (1.4 - 1)) = [ 1.2 ]^(3.5) ≈ 1.893

  - 즉, 내부 압력이 외부 압력보다 약 1.893배 높을 때부터 음속 누출이 발생함을 의미한다.

 

음속 누출 판정 시 압력 수치는 반드시 절대 압력(Absolute Pressure)을 사용한다. 게이지 압력(Pg)이 주어지는 경우, P₀ = Pg + P_atm(1.01325E5 Pa)으로 변환하여 대입한다.

 

 

결론

임계 압력 P꜀는 누출구 지점의 압력을 의미하며, r꜀는 음속 누출이 발생하기 위한 최소한의 압력 배수를 나타낸다.

음속 누출(Sonic/Choked Flow) 판정 조건은 P₀ / Pₐ ≥ r꜀ 조건이 곧 P꜀ ≥ Pₐ 조건과 동일하다.

음속 누출 상태에서는 누출률 산정 시 대기압(Pₐ)의 영향을 무시하고 용기 내부 조건만으로 Wg를 산출한다.