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공학 기술/공학기본

단열 팽창 폴리트로픽 지수(n=γ=k)

by yale8000 2025. 2. 2.

폭발위험지역 구분도 작성 관련 누출률 계산 시 사용되는 단열 팽창 폴리트로픽 지수(γ) 또는 비열비(k)에 대해 공유하고자 한다.

 

제목

 

 

단열 팽창 폴리트로픽 지수(n=γ=k)

폴리트로픽(polytropic)"이라는 용어는 원래 열과 일의 전달을 모두 포함하는 가스 또는 증기의 개방 또는 폐쇄 시스템에서 가역적인 공정(reversible process)을 설명하기 위해 만들어졌으며, 특정 특성의 조합이 공정 전반에 걸쳐 일정하게 유지된다. 이러한 프로세스에서 공정 전반에 걸친 시스템의 속성을 나타내는 표현을 폴리트로픽 경로(polytropic path)라고 한다.

 

 

폴리트로픽 과정(多方過程, polytropic process)

이상 기체의 경우 이 폴리트로픽 경로는 다음과 같이 단순화할 수 있고, 이를 폴리트로픽 과정이라 한.

PV^n = C

이때 P는 압력V는 부피n은 임의의 실수 폴리트로픽 지수(polytropic index), C는 상수이다.

 

즉, 이상기체가 팽창이나 압축이 진행되는 동안에 압력과 체적의 관계식은 PV^n = C의 관계식으로 표현되며, 폴리트로픽 과정(polytropic process)은 이러한 기체의 등온공정과 단열과정 사이의 변화과정이라고 볼 수 있다.

 

 

폴리트로픽 지수(polytropic index, n)

폴리트로픽 지수는 과정(process)의 특성을 나타내는 데 사용되며, 그 값에 따라 여러 가지 다른 열역학적 과정들을 일반화할 수 있다.

폴리트로픽 지수 n의 커버 범위는 n=[0,]로서, n=0이면 등압과정n=1이면 등온과정n=γ이면 등엔트로피 과정n=이면 등적과정이 된다.

이를 요약하면 다음 표와 같다.

 

<표 1> 폴리트로픽 지수 n 의 변화

폴리트로픽 지수 관계식 열역학적 과정 비고(P-V  Diagram)
n = 0 P = C 등압과정(isobaric process)과 동일
P-V Diagram

adiabatic process : n = γ = k


n = 1 PV = C 등온 과정(isothermal process)과 동일, pV = nRT.
1 <n < γ PV^n = C polytropic process, 열과 일의 흐름이 반대 방향K  > 0).
n = γ PV^γ = C 등엔트로피 과정(isentropic process, 또는 단열 과정)과 동일
γ < n < 열과 일의 흐름이 같은 방향K  < 0).
n = + V = C 등적과정 (isochoric process과 동일

 

 

또한 폴리트로픽 지수는 프로세스를 특성화하는 다음 그림과 같이 표현될 수 있다.

Examples of simple polytropic processes

<그림 1> Examples of simple polytropic processes.(출처:https://www.thermopedia.com/content/1045/)

 

 

단열 과정 (δQ = 0, adiabatic process, isentropic process)

● 이상 기체의 경우 비열 관계식은 다음과 같다.

Cp dT=Cv dT+Pdv

[정압 과정에서 dT만큼 온도를 상승시키는데 필요한 열량

  =정적 과정에서 dT만큼 온도를 상승시키는데 필요한 열량+Pdv의 팽창일]

Pv=RT에서 Pdv=RdT이므로

Cp dT=Cv dT+RdT

∴ Cp –Cv = R

- 비열비 (specific heat ratio) : k = Cp / Cv

k 1 = R / Cv  Cv = R/(k-1)

1-1/k = R / Cp  Cp = kR/(k-1)

 

 

● 이상 기체의 P-v 관계식은 다음과 같다.

- 열역학 제1법칙으로 부터  δQ = du + δW = du + Pdv(가역과정)

   δQ = du + Pdv = CvdT + Pdv = 0

- Pv=RT에서 Pdv +vdP = RdT

   Cv (Pdv +vdP)+ RPdv = Cv (Pdv +vdP)+ (Cp Cv)Pdv = 0

   vdP + kPdv = 0

   dP/P+kdv/v = 0

   lnP + k lnv = const.

   ∴ Pv^k = C

 

P-V relation of adiabatic process

 

<그림 2> P-V Diagram of adiabatic process

 

 

단열 과정 폴리트로픽 지수(n=γ=k)

폴리트로픽 지수 (n)과 비열비 (k) (불변열 비율)의 값이 같은 경우에는, 그 과정은 등엔트로피 과정, 즉 이상적인 가역 단열 과정을 나타낸다.

이는 열이 전달되지 않는 과정을 나타내므로, 폴리트로픽 과정의 일종으로 볼 수 있다.

따라서, (n = γ =k)가 될 수 있으며, 이 경우 등엔트로피(단열) 과정을 나타낸다.

 

따라서 폭발위험지역 구분도 작성 관련 누출률 계산 시 사용되는 단열 팽창 폴리트로픽 지수(n =  γ)는 비열비(k)로 간주하여 사용할 수 있다. 

 

일반적으로 사용되는 "이상적인 가스"의 정압비열(cp) 및 정적비열(cv), 비열비(κ or γ), 개별 가스 상수(R)에 대한 data는 기포스팅한 다음 링크 자료 참조

https://sec-9070.tistory.com/1084

 

비열비(specific heat capacity ratio)

열역학에서 자주 등장하는 비열비, 기체상수, 정적비열, 정압비열에 대해 공유하고자 한다. 특히 비열비는 폭발위험장소 누출율 계산시 사용된다. 비열비(κ or γ, specific heat capacity ratio) Gas(or Vapo

sec-9070.tistory.com

 

 

 

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